设$X$和$Y$都是偏序集，分别具有序关系$\preceq_X$和$\preceq_Y$.在笛卡尔乘积$X\times Y$上定义关系$\preceq_{X\times Y}$如下：$(x,y)\preceq_{X\times Y}(x',y')$如果$x\preceq x'$或者$x=x'$且$y\preceq y'$.证明$\preceq_{X\times Y}$在$X\times Y$上定义一个偏序.

证明：

自反性是显然的.

然后证明传递性.当$(x_1,y_1)\preceq_{X\times Y}(x_2,y_2)$，$(x_2,y_2)\preceq_{X\times Y}(x_3,y_3)$时，利用树状图画出四种情形，分别容易验证.

然后证明反对称性，当$(x_1,y_1)\preceq_{X\times Y}(x_2,y_2)$，且$(x_2,y_2)\preceq_{X\times Y}(x_1,y_1)$时，易得$(x_1,y_1)=(x_2,y_2)$.$\Box$

再证明，如果$X$和$Y$都是全序的，则$X\times Y$也是全序的.

证明：证明很容易.

再证明，如果$X$和$Y$都是良序的，则$X\times Y$也是良序的.

证明：对于$X\times Y$的任何子集$M_1$，找出$x$分量上的最小的,形成子集$M_2\subset M_1$.再在$M_2$里找出$y$分量上最小的，这样就唯一的确定了一个元素，这个元素是$M_1$的最小元.

 

 

 

注:此乃字典序.